园内运动问走过的圆心角问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/10 10:12:22
假如在一个圆形的岛上，圆心处有一个猎狗圆边缘有只狼，从t=0时刻开始，猎狗去追这只狼狼一直绕着岛边缘跑，猎狗每时每刻的速度方向都是指向狼的方向两者速度相等，问猎狗追上狼的时候的那个点，与最初两者位置的那个点，两点的圆心角是多少？
大家仿佛都被一楼所误导，一步追上的前提是a，要么狗是智能狗，直接到狼的终点堵截，b，要么狼是蠢狼，狗都跑了一段距离了，狼还没跑。
a中，狗的轨迹的切线，也就是速度方向并没有始终指向狼。b中狼也要跑啊。
这个题目有点类似洲际导弹拦截的感觉。
追上的条件为1、狗走轨迹与狼走轨迹距离相等，且相交某点。2、狗转过的方向为狼跑的圆心角加pi/2。3、速度方向一致。
一楼中的同学，狗走过的距离不只r吧，狗的路线至少是个渐开线吧，一步追上被推翻。
二楼请论证：狗走距离和狼走距离相等，切处处切线指向狼。
一个推理即可推翻，交点的切线方向不为狼的运动方向。
三楼中，狼跑的运动为匀速圆周运动。一步追上的论证已被推倒。

yryryr111 的思路真棒，佩服啊。。

在巨人 yryryr111 和各位高手的肩膀上，俺把俺的思路晒一下。

设狗的速度大小 = 狼的速度大小 = v，
岛的半径 = r.
狼的角速度w = v/r

以t=0时狗的位置为坐标系原点，t=0时狗向狼跑的方向为X轴的正向建立坐标系。

则，时刻t=0时，
狼的坐标为 [r,0]
狗的坐标为 [0,0].

狗的速度向量为 [v,0]

t时刻时
狼的坐标为 [ rcos(wt）, rsin(wt) ]
狗的坐标为 [ x(t)cos[y(t)], x(t)sin[y(t)] ],

狗的速度向量为，
[x'(t)cos(y) - xy'(t)sin(y), x'(t)sin(y) + xy'(t)cos(y)] =

v[rcos(wt) - xcos(y), rsin(wt) - xsin(y)]/{[rcos(wt) - xcos(y)]^2 + [rsin(wt) - xsin(y)]^2}^(1/2))

[x'(t)cos(y) - xy'(t)sin(y)][rsin(wt) - xsin(y)] =

[x'(t)sin(y) + xy'(t)cos(y)][rcos(wt) - xcos(y)]

rx'(t)[cos(y)sin(wt) - sin(y)cos(wt)] - rxy'(t)[sin(y)sin(wt) + cos(y)cos(wt)] + x^2y'(t) = 0,

rx'(t)sin(wt - y) - rxy'(t)cos(wt - y) + x^2y'(t) = 0, ...(1)

[x'(t)cos(y) - xy'(t)sin(y)]^2 + [x'(t)sin(y) + xy&#