在三角形ABC中，∠A=2∠B, CD是∠ACB的平分线，求证：BC=AD+AC

延长CA至E,使EC=BC,连结ED拧延长ED至F,EF交BC于F

∵EC=BC,∠ECD=∠BCD,CD=CD
∴ΔCED≌ΔCBD
∴DE=DB,∠CEF=∠CBA

又∵∠EDA=∠BDF
∴ΔAED≌ΔFBD
∴AD=FD,∠EAB=∠BFE即∠CAB=∠CFE

又∵∠ECD=∠BCD,CD=CD
∴ΔCAD≌ΔCFD
∴AC=FC,∠CAB=∠CFE

设∠CAB=∠CFE=2α,∠ABC=α
∠BFE=180°-∠CFE=180°-2α
∠BDF=180°-∠ABC-∠BFE=180°-α-(180°-2α)=α
即∠BDF=∠ABC
∴ΔFBD是等腰三角形,即ΔAED是等腰三角形,AE=AD

CE=AC+AE=AC+AD
∴BC=AC+AD

证明：作AD垂直于CD交BC于E ，连接ED
因为： CD是∠ACB的平分线
所以： 三角形ACE是等腰三角形
AC=CE
因为： CD垂直平分AE
所以：三角形AED是等腰三角形
AD=DE
因为： 三角形ACD全等于三角形ECD
所以： ∠CAD=∠CED 而∠A=2∠B
故 ∠CED=∠A=2∠B=∠B+∠BDE
于是： ∠B=∠BDE
所以： DE=BE
BC=BE+CE=AC+DE=AC+AD
即：BC=AD+AC

BC间做一点E，让 ∠ADC=∠EDC，AC=EC，
AD=BE，所以AD+AC=BE+EC=BC