高二数学-~~~~~~~~~~
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/09/12 15:11:17
在直线l:x-y+9=0上取一点P,过点P以椭圆x2 /12+y2 /3=1的焦点为焦点做椭圆。
(1)P点在何处,所求椭圆长轴最短?
(2)求长轴最短时的椭圆方程。
(1)P点在何处,所求椭圆长轴最短?
(2)求长轴最短时的椭圆方程。
P以椭圆x2 /12+y2 /3=1的焦点为焦点
则c=3
椭圆上点到两焦点的距离和为2a(a为长轴长度)
设左、右焦点为F1(-3,0),F2(3,0)
过F1做直线L的对称点F'1。
则F1P+F2P=F'1P+F2P>=F'1F2
则当P点为直线F'1F2与L的交点时a最小
设F'1为(a,b)
则(a/2-3/2)-b/2+9=0(F1与F'1的中点在直线L上)
(b-0)/(a+3)=-1(直线F'1F1与L垂直)
联立可得a=-9,b=6,
则直线F'1F2为:y-0=(6-0)(x-3)/(-9-3)
化简:x+2y-3=0
又 x-y+9=0
联立可得x=-5,y=4
则P为(-5,4)
椭圆方程:x²/a²+y²/(a²-9)=1
将x=-5,y=4代入可得a²=45。
椭圆为:椭圆方程为:x²/45+y²/36=1
方法2
当a最小时直线L与椭圆相切
椭圆的切线方程为xx0/a²+yy0/b²=1
由于该直线应与L:x-y+9=0为同一直线
则x0/a²=-y0/(a²-9)=-1/9
x0-y0+9=0
联立可得x0=-5,y0=4,a²=45
故P(-5,4),椭圆方程为:x²/45+y²/36=1
可知所求椭圆的焦点 在x轴的正负3处。即c=3。a*a-b*b=9
画图分析一哈可知满足条件椭圆长轴最短时直线和所求椭圆相切。
连立椭圆和直线方程 判别式等于0得a 和b关系 。
连立两个a b关系式可解得a ,b (注意有一组解要舍掉)得到椭圆方程再求解切点即是P点。
我懒得解出结果,你自己算,思路是这样的。