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此函数为log2 (|x|).若观察不出则用下法：
(1)由f（x1*x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1;则
f(1)=2f(1);故f(1)=0;
再令x1=x2= -1;则
f(1)=2f(-1)=0;所以f(-1)=0;
再令x1= -1; x2=x（任意非0实属）则
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x);
故f(x)是偶函数。
(2) 设x2>x1>0;则x2/x1=y>1;
f(x2)=f(x1*(x2/x1))=f(x1)+f(y)
因为当x大于1时f(x)大于0,而y>1,所以由上式得到
f(x2)>f(x1)
所以f(x)在0到正无穷大上是增函数
.

证明：
（1） 由于f(-1)=f(-1*1)=f(-1)+f(1)，所以f(1)=0
从而有f(1)=f[(-1)*(-1)]=f(-1)+f(-1)=0，所以f(-1)=0=f(1)
于是，f(x)=f(x*1)=f(x)+f(1)=f[(-x)*(-1)]=f(-x)+f(-1)
所以f(x)=f(-x)，即函数f(x)是偶函数。

（2） 设x1=t*x2>0，其中t>1，则x1>x2
于是：f(x1)-f(x2)=f(t*x1)-f(x2)=f(t)>0
即有f(x1)>f(x2)
故f(x)在0到正无穷大上是增函数

设x1>0，则-x1<0

f（x1*x1）=f[-x1*(-x1）]=2f（x1）=2f（-x1）

所以，f（x1）＝f（x1）

f（x×n）＝f（x）＋f（n）
若n>1,则f（n）>0,
所以f（x×n）>f（x）
又n>1,所以x×n>x

f(x)在0到正无穷大上是增函数

(1) 令X1=1,X2=-1 则f(-1*1)=f(-1)+f(1) 得f(1)=0
令X