势函数的答案

势函数
势函数的构造是人工势场方法中的关键问题，典型的势函数构造方法如下

P(θ)=f{d(θ,θ0),d〔R(θ),O〕,dT} (1)

式中 θ，θ0——机器人当前位姿与目标位姿矢量
d(θ,θ0)——θ与θ0间的某种广义距离函数
d〔R(θ)，O〕——当前位姿下机器人与障碍物间的最小距离
dT——给定的门限值
P(θ)分别为变量d(θ,θ0)和d〔R(θ)，O〕的单调递增函数和单调递减函数。从机器人的起始位姿开始沿着P(θ)的下降方向进行搜索可使机器人在避开障碍物的前提下向目标位姿运动。
机器人与障碍物间的距离计算是构造势函数的基础，通常采用的距离函数是Euclidean距离。若采用凸多面体集合对机器人连杆和障碍物进行几何模拟，则机器人与障碍物间的距离计算简化成凸多面体间的距离计算。凸多面体间的Euclidean距离是二次规划问题的解，计算比较复杂〔8～10〕。本文采用Euclidean距离的等价度量——L1距离，提出C-空间中人工势场的一种构造策略，并给出相应的机器人无碰撞路径规划方法。
考虑到机器人的实际操作空间为三维空间，因此有关讨论限制在R3中。

1 凸多面体间的L1距离及其计算方法
凸多面体间的L1距离定义如下

(2)

式中 ‖a-b‖1—矢量a-b∈R3的L1范数
有界闭(后面均作此假设)凸多面体A，B?R3间的L1距离具有以下性质〔11〕。
(1) 由式(2)定义的d1(A，B)存在且唯一，式(2)可等价成

(3)

(2) (与Euclidean距离的等价性)记A，B间的Euclidean距离为dE(A，B)，则有

(4)

(3) 拓扑性质

(5)

(4) (Lipschitz性)以TA，TB∈SO(3)分别表示多面体A和B的旋转矩阵，rA，rB∈R3