在镶嵌中，怎样判断在一个顶点处，几个多边形各有几个？

用多边形顶点的角度判断
如正方形的角为90度
所以一个顶点可以镶嵌360/90=4个正方形
再如正六边形的角为120度
所以一个顶点可以镶嵌360/120=3个正六边形
注意:此法仅适用于正多边形!!!

1.设每个顶点周围有a个正三角形 ，b正四边形， c正六边形,则a___b____c___

a = 6 ,b = 4 ,c = 3
正三角形每个角都是六十度，用三百六十除以六十即可,其他同理。

2.用正三角形和正方形镶嵌在一个顶点周围，可以有______个正三角形和________个正方形。

3个三角形，2个正方形。

正多边形有无限多种，正三角形、正方形、正五边形等等。其实，任何边数的正多边形都存在，因为可以设想将圆周n等分（n≥3），顺次连接相邻的分点，那么得到的内接多边形就是正n边形。
我们的问题是用正多形来镶嵌平面，也就是说取正多边形，彼此不重叠地铺放在地面上，不准有任何地面露出来。
显然，用同样大小的正方形、正三角形、正六边形，各自都可以铺满平面。

然而，如果这种镶嵌不限于用同一种正多边形，只要求同一种正多边形是有同样尺寸的。那么怎样寻求其它种类的镶嵌方案呢？

一、如果能实现平面的镶嵌，镶嵌图的每个顶点都必须是集中了几个正多边形的顶角。于是在每一顶点集中的顶角刚好拼成一个圆周角。因为每一个正n边形的内角为倍的直角，即，因此，要找到这样的拼图，须找到正整数n, p，q，r，……，使
这是个奇怪的方程式。其奇怪之处在于未知数的个数未确定，但限制未知数必须是不小于3的整数。这个方程不只有一组解，但是能有多少组解呢？
让我们先作一点分析。假定有m个大于3的整数满足方程，记为(n1，n2，n3...nm)，即
于是有
即
由于n1，n2，…nm每个都不小于3，于是由，知道必有，故m≤6 。
又由于一个顶点处至少要有三个角拼在一起才行，否则必有超过或等于180°的角，所以m≥3。至此，我们的解答中，每一组解中未知数个数只能是3，4，5，6之中。现在看看怎样求解。