数学竞赛解答题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 16:43:01
已知m，n（m大于n）是正整数
（1）若3的m次方与3的n次方的末位数字相同 求m+n的最小值
（2）若3的m次方与3的n次方的末两位数字都相同 求m-n的最小值
注意：第二问是 末两位

1.3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,……,
它们的个位分别是3，9，7，1，3，9，……周期为4，
∵3^m与3^n的个位数相同，
∴m+n的最小值为5+1=5，
∴m-n的最小值为5-1=4，

2.3^m-3^n可以被100整除，则3^(m-n)-1能被100整除。
所以3^(m-n)末两位是01。
来看3的几次方根的末两位：3,9,27,81,43,29,87,61
在看该数列的第4、9、13……项：81，61，61*3^4......
即81，61，41，21，01

经过计算，m-n是5*4=20

<1>5
<2>10

(1)1+5=6
(2)不会

<1>3*3=9;
9*3=27;
7*3=21;
1*3=3.
所以末位只能是3，9，7，1.周期为4.
m+n的最小值为1+5=6.
<2>3^m-3^n=3^n*(3^(m-n)-1)
因为3^n的个位不可能为0，所以3^（m-n）-1的十位和个位为0.
接下来就只能猜了3^4=81,3^8=6561;3^12=531441;3^16=43046721;
3^20=346784401 即m-n的最小值为20.