反常积分的问题.急急急

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/29 19:04:11
Fn(x)=∫e^(-nt^2)dt(∫下标为0->x)
n属于N*,为定值,(n是F的下标)
现在要证明x->Fn(x)是递增函数,并要证明在x时为界
(卷子上给出了提示说,证明他被1+∫e^(-t)dt(∫下标是1->x)作为最大上界..)这里我不知道怎么用它给的这个式子,感觉很奇怪..

通过递增和有最大上界,证明其是有界函数.
最后再证明它x->Fn(x)是有极限在正无穷上的,记做In.(n为下标)
为什么区间[0.1]上为1??饿..不明白.不是通过F(1)-F(0)?不等于1呀.这个上面不明白..请指教哦

你题目叙述的真是乱啊。

1 . Fn(x)增函数显然，因为 e^(-nt^2) >0.
2 . x<1时，因为积分范围为[0，x]，并e^(-nt^2)<1
故Fn(x)=∫[0,x] e^(-nt^2)dt <=Fn(1)<=∫[0,1] 1 dt=1
x>1时,e^(-nt^2) <e^(-t)
Fn(x)=∫[0,x] e^(-nt^2)dt]=∫[0,1]e^(-nt^2)dt+∫[1,x]e^(-nt^2)dt
<=1+∫[1,x]e^(-nt^2)dt <=1+∫[1,x]e^(-t)dt
<=1+∫[0,+无穷）e^(-t)dt=2
可见Fn(x)在[0,+无穷）上有界，且在[0，x]上以Fn(x)为界（因为增）
3. Fn(x)在[0,+无穷）上增且有界，可见
lim x趋无穷 Fn(x)=∫[0，+无穷） e^(-nt^2)dt 存在 (单调收敛定理）
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查下书啊,就是用个单调性,关于区间的单调和被积函数的单调性.至于,在区间[0,1]时等于1,这个不是问题吧?)∫[0,1] 1 dt这个表示1在[0,1]上的定积分啊.