已知函数f(x)是在R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(4000)的值是多少?
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/09/28 15:01:46
已知函数f(x)是在R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(4000)的值是多少?
f(x)是在R上的偶函数f(x)=f(-x)
g(x)是R上的奇函数g(x)=-g(-x)
g(x)=f(x-1)
g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)
所以 f(x-1)=-f(x+1)=f(x+3)
即f(x)=f(x+4)=-f(x+2)
f(4000)=f(0)=-f(2)=-2
因为f(x)是在R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,所以
f(x)=f(-x)
g(x)=-g(-x)
由题意,及g(x)=f(x-1)可知
f(x)=g(x+1)(设x+1为t,则g(t)=f(t-1)即为g(x+1)=f(x))
=-g(-x-1)(g(x)是R上的奇函数)
=-f(-x-2)(设-x-1为t,则g(t)=f(t-1)即为g(-x-1)=f(-x-2))
=-f(x+2)(f(x)是在R上的偶函数)
所以f(x)=-f(x+2)=f(x+4)
即f(x)是以4为周期的周期函数
所以f(4000)=f(4)=f(2+2)=-f(2)=-2
已知定义在R上的函数f(x)
已知f(x) 是定义在R 上的不恒为零的函数
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