高分速求：cosh (x + y)

已知cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y

求：cosh (x + y)
要证明过程的 谢谢！

再补充：求的是如何将cosh (x + y) 变成coshx cos hy - sin hx sin hy

而不是证明cos h(x + y) = coshx cos hy - sin hx sin hy

楼上的人似乎都错了。

根据欧拉公式，可以得到 cos(x)=cosh(ix); sin(x)=sinh(ix)
变量代换得到 cos(ix)=cosh(x); sin(ix)=-sinh(x)

再根据 cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y 得：

cosh (x + y)= cos(ix+iy)=cos(ix)cos(iy) − sin(ix)sin(iy)
=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
修正：sinh x= -isin ix
推到过程不变，结果是
cosh (x + y)= cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)

已知cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y (0)
利用以上公式速求：cosh (x + y)
答：cosh x=cos ix (1),sinh x= -isin ix (2)

cosh (x + y)
=cos i(x+y) (1*)
=cos ix cos iy -sin ix sin iy (0*)
=cos ix cos iy + (-isinix)(-isiniy) (*:-i*-i=-1)
=cosh x cosh y + sinh x sinh y. (*2)

后缀*表求顺引该式，前缀*表示逆引该式，如*2表示反向应用（2）式。

以下证明(1)(2).
exp ix =e^ix=cos x + i sin x
2cos x =exp ix + exp -ix=>2 cos ix=exp -x+exp x=2ch ix<=>(1)
2isinx =exp ix - exp -ix=>2isin ix=exp -x-exp x=-2sh x<=>(2)