若将向量a=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π/4得到向量b

向量b＝（2cosπ/4，1sinπ/4）＝（ 根号2，(根号2)/2 ）

把向量a=(2,1)看成2+i
按逆时针方向旋转π/4就是这个复数乘以 (根号2)/2 +(根号2)/2 i
所以
[2+i][(根号2)/2 +(根号2)/2 i]=(根号2)/2 +(根号2)3/2i
所以向量b=((根号2)/2 ,(根号2)3/2)

绝对新颖，便于心算，敬请仔细阅读。谢谢。

向量a=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π/4得到向量b,求b
前言：
我的作法本来想和楼上"回答者： aquex - 高级经理 六级"说的差不多的。但为了表述上的方便，也为了扩展视野，这里引入有些教材上讲到的复数的数偶表示，使之与二维向量在形式上和计算上达到统一。
（*）复数a+bi表示为数偶(a,b)，这时称作复数(a,b)；对涉及到向量（a,b）的操作，鉴于向量与复数可以对应，我们也直接说对于复数(a,b)的操作。于是有以下说法：
复数(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
复数(a,b)被逆时针旋转角x得到:(a,b)*e^ix=(a,b)*(cosx,sinx)
称e^ix=(cosx,sinx)为 角x旋转因子，注意它是单位向量(模为1)。

解:
(2,1)逆旋π/4得到:(2,1)*(cosπ/4,sinπ/4)=(2,1)*(1,1)/root2
=(1,3)*root(2)/2=(root2/2,3root2/2)

附：
你可以考虑：
在π/4方向上向量最容易接受的是(1,1)，而模为root2.其对应的单位向量自然就是(1,1)/root2=root2/2*(1,1)

提示：在计算复数乘法时，不要去想什么i,i^2=-1，要直接想
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc),这种形式使得实部和虚部对称了，而事实上，它们本来应该对称的！

另有关于复数的矩阵表示及其在坐标旋转变换中的应用，参见
已知向量a=(3,-4),将a绕原点逆时针方向转45度得到向量e的坐标 向量a=(3,-1),向量b的始点为原点,且向量b垂直与向量a,向量b0为向量b上的单位向量,求b0的坐标(要过 已知点A（2，-2），把向量OA绕原点顺时针旋转60度得到向量OB，则向量AB=（） 已知在□ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD的中点为E（4，1），将□ABCD按向量a平移，使C点移到原点O。 设向量a=(cosA,sinA),向量b=(cosB,sinB)，且向量a-向量b=(-2/3,1/3)，若C为向量a向量b的夹角，试求cosC/2 1）若a向量 垂直 b向量，那么可以推出 a向量点乘b向量=a向量点乘b向量的完全平方 已知|a|=1,|b|=根号2，且（向量a-向量b)与向量a垂直，则向量a与向量b的夹角是 已知|向量a|=3^1/2,|向量b|=2,向量a与向量b的夹角为30°,求|向量a+向量b|,|向量a-向量b| 已知|a|=1,|b|=根号2，且（向量a-向量b)与向量b垂直，则向量a与向量b的夹角是 已知向量a+b=(1,-5) 向量c=(2,-2) 向量a*c=4 向量|b|=4 求向量b与c的夹角