初三的两道综合题

第一题.
如图(http://hi.baidu.com/%B6%AB%B7%BD%C9%F1%C6%F0%D6%AE%D3%A2%D0%DB%D4%DA%D6%D0/album/item/68cf8c359a0a7d99a71e1291.html),已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点(P异于A,D),Q是BC边上的任意一点.连AQ,DQ,过P作PE‖DQ交AQ于E,作PF‖AQ交DQ于F.
(1)求证:△APE∽△ADQ;
(2)设AP的长为X,试求△PEF的面积S关于X的函数关系式,并求当P在何处时S取得最大值?最大值为多少?
(3)当Q在何处时,△ADQ的周长最小?(须给出确定Q在何处的过程或方法,不必给出证明)
-----------------------------------------------------------------
第二题.
如图(http://hi.baidu.com/%B6%AB%B7%BD%C9%F1%C6%F0%D6%AE%D3%A2%D0%DB%D4%DA%D6%D0/album/item/68cf8c359a0a7d99a71e1291.html#IMG=f26664ee139caae9b3fb9592),边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点,点A在X轴的正半轴上,点C在Y轴的正半轴上.动点D在线段BC上移动(不与B,C重合).连接OD,过点D作DE⊥

第1题
注:X/Y代表Y分之X.如2/3代表三分之二(别看反了).
(1)证明:因为PE‖DQ,所以∠AEP=∠AQD,又因为∠DAQ=∠PAE,所以△APE∽△ADQ.
(2)作EM⊥AD于M,FN⊥AD于N
因为PE‖DQ,PF‖AQ,
所以四边行PEQF为平行四边行.
因为EF为对角线,
所以S△PEF=S△EFQ.
因为△APE∽△ADQ,
所以AP:AD=EM:CD.
所以可以求出EM=2X/3.
同理可知FN=6-2X/3.
因为S△PEF=(S△ADQ-S△AEP-S△PFD)/2
所以S△PEF=-X*X/3+X(平方不会打,用X*X代替了,呵呵)
所以S=-X*X/3+X=-(X-1.5)(X-1.5)/3+0.75
因为S为X的二次函数,且a＜0,所以S有最大值.当X=1.5时,S最大,值为0.75.
(3)当Q在BC中点时,△ADQ的周长最小
确定方法:以BC为对称轴,做D'关于D对称,连接AD',交BC于Q,则Q点为所求点,能使△ADQ的周长最小.(理由嘛很简单啦,他不要证明,我还是说一下吧,就是利用了两点之间线段最段的定理,根据对称知道此时AQ+QD'=AQ+QD.因为AD是唯一确定的,所以要使△ADQ的周长最小,就要让AQ+QD最小就行,所以这样确定).

第2题
(1)因为t=1/3,正方形边长为1.
所以OC=1,所以D(1/3,1)
因为DE⊥OD,所以∠ODE=90°
所以∠ODC+∠BDE=90°
因为在正方形QABC中,∠OCD=90°
所以∠ODC+∠DOC=90°
所以∠DOC=∠BDE
又因为∠B=∠DCO
所以△COD∽△BDE
所以OC:BD=CD:BE,所以求出BE=2/9
所以AE=7/9,所以E(1,7/9)
设DE所在直线关系式为Y=KX+B
将D,E坐标带入,可求出关系式为Y=-1/3+10/9
(2)存在
由(1)得△COD∽△BDE