等腰直角三角形ABC,AB=AC,角BAC=90度M为边AC的中点BM垂直AD交BC于D,垂足为E连接DM,求证角AMB=角DMC

证明:
过C点做CF⊥AC,交AD延长线于点F
∴∠ACF=90度
∵∠BAC=90度
∴AB‖CF
∴∠BAE=∠F
∵∠BAC=90度
∴∠BAE+∠MAE=90度
∵BM⊥AD
∴∠AMB+∠MAE=90度
∴∠BAE=∠AMB
∴∠AMB=∠F
在三角形ABM和三角形AFC中
∵AB=AC,∠ACF=∠BAC=90度,∠AMB=∠F
∴三角形ABM全等于三角形AFC(AAS)
∴AM=CF
∵AM=CM
∴CM=CF
在三角形CMD和三角形CFD中
∵∠ACB=∠FCD=45度(因为三角形ABC是等腰直角三角形,所以角ACB=45度,所以角DCF=90-45=45度),CM=CF,CD=CD
∴三角形CMD全等于三角形CFD(SAS)
∴∠F=∠DMC
又∵∠F=∠AMB
∴∠AMB=∠DMC

证明:
过C点做CE⊥AC,交AD延长线于点E,即∠ACE=90度.
∵BM⊥AD
∴∠AEM=90度
∴在△AEM和△ACF中∠AMB=∠E(相似)
∵AB=BC, ∠BAC=90度
∴△BAM≌△ACE
∴AM=CE
∵∠ABC=∠BCA=45度
∴∠BCE=90度-∠BCA=45度=∠BCA
∵M是AC的中点
∴AM=MC
∴MC=CE
在△CDM和△CDE中
∵CM=CE，∠BCE=∠BCA，CD共边
∴△CDM≌△CDE
∴∠E=∠DMC
又∵∠E=∠AMB
∴∠AMB=∠DMC