求证:三角形的三个内角平分线交于一点

设△ABC中， BF，AG为∠BAC和∠ABC平分线，相交于O，连接CO并延长交AB于E,做OP⊥AB,OQ⊥BC,OR⊥AC
因为AG，BF为角分线
所以OG=OP=OR
因为OR⊥AC OQ⊥BC OR=OQ OC=OC
所以△ROC≌△QOC
所以∠RCO=∠QCO
所以CE是∠ACB角分线

反证：不交于一点他不是三角形

一个点在角平分线上，当且仅当它到角两边的距离相等。三角形两角B和C的角平分线相交于I点，则I到边AB距离等于到BC的距离等于到AC的距离，所以I到AB的距离等于到AC的距离，所以它在角A的平分线上，即AI也是角平分线。证完。

证明：设A，B平分线交于O，经O向AB，BC，AC作垂线，垂足分别为E，F，G。∵AO， BO为角A，B的平分线，
∴OE=OG，OE=OF，
∴OE=OF=OG，
∵与一个角的两个边的距离相等的点在那个角的角平分线上，
∴O必在角C的角平分线上，故三个角A，B，C的角平分线交于一点O。