UC知道两个级数的敛散性问题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/22 05:38:03
1: ∑（n=1,∞) tan (1/(n*(n~1/2)))
2: ∑（n=1,∞) (e~1/(n~1/2)-1)
其中 n~1/2 代表n的二分之一次方、 e~1/(n~1/2)代表e的根号n，分之一次方。
求1，2的敛散性。。 最好写出根据的原理，大致步邹
“来自武夷山” 的答案不太明白。书上写的有上界 是说存在一个正数M>0 使得对一切自然数n都有 Sn <= M (此处Sn代表正向级数的前n相合)。此时级数收敛..答案一中“武夷山”写的有上界是当n=1时tan (1/(n*(n~1/2))) 得到最大值（也就是tan(1)）是通项的最大值，不是它的前n项合Sn小于等于某个常数。。。期待进一步指教。 谢谢
2: ∑（n=1,∞) (e~1/(n~1/2)-1)
其中 n~1/2 代表n的二分之一次方、 e~1/(n~1/2)代表e的根号n，分之一次方。
求1，2的敛散性。。 最好写出根据的原理，大致步邹
“来自武夷山” 的答案不太明白。书上写的有上界 是说存在一个正数M>0 使得对一切自然数n都有 Sn <= M (此处Sn代表正向级数的前n相合)。此时级数收敛..答案一中“武夷山”写的有上界是当n=1时tan (1/(n*(n~1/2))) 得到最大值（也就是tan(1)）是通项的最大值，不是它的前n项合Sn小于等于某个常数。。。期待进一步指教。 谢谢
首先，判断这两个级数都是正项级数（即每项为正数），因为一些定理的前提是针对正项级数的，判断过程在下面的解题思路里
问题一： 收敛，根据单调、有界级数必收敛的定理
当n趋向∞时，n*(n~1/2) 单调增加，其倒数1/(n*(n~1/2))
单调减小，且1/(n*(n~1/2)) 的取值范围是（0，1），在这
个范围内tan函数单调递增，所以 tan (1/(n*(n~1/2))) 是
随n单调减小的；且 tan (1/(n*(n~1/2))) 当n＝1时取上界，
n趋向∞时取下界0，也可以判断该级数是正项级数
问题二： 收敛，跟问题一一样的思路，(e~1/(n~1/2)-1)单调递减，且(e~1/(n~1/2)-1)随n趋向∞时趋向0
总结，1，判断收敛性先看是否是正项级数还是交替级数；2，判断n取∞时，单项是否有极限0，如果不是趋与无穷小，则肯定发散；3，再根据级数表达式的特点，联想一些常规的定理和解题思路进行求解
希望有帮助！
打出来太麻烦···
tan (1/(n*(n~1/2))) 与1/n*(n~1/2))是等价无穷小 因为1/n*(n~1/2)) P>1收敛 所以∑（n=1,∞) tan (1/(n*(n~1/2)))
收敛
2 同理e~1/(n~1/2)-1与 -1/n为等价无穷小 因为-1/N收敛 （莱布尼兹判别法）所以 ∑（n=1,∞) (e~1/(n~1/2)-1)
收敛