能否在变量处作泰勒展开？

若该点存在任意阶导数
只要把x0换为x-a，右边表达式中x，x^2,...换为a，a^2,...

当然可以
函数可以再任何点泰勒展开
唯一的要求就是在该点存在任意阶导数

泰勒定理是描述函数局部性质的定理。因此在某点展开要看函数在某点附近的性质。
首先，你好明确f(x)及其各阶导数在展开处临域的性质。如你要展到n阶，看它在这点附近是不是有n-1阶连续导数，是不是有n阶可导。如果满足，就可以在那点展开。

注意，这个时候你要将x-a看做定值。