以边长为a的正方形ABCD的对角线AC长为半径

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/09/20 17:35:32

以边长为a的正方形ABCD的对角线AC长为半径，以点A为圆心作弧交AB边的延长线于点E，交AD边的延长线于点F，得扇形AECF，把扇形AECF的面积称为正方形ABCD面积的扩展；再以线段AE为一边作正方形AEGH，以对角线AG的长为半径，点A为圆心画弧交AE边的延长线于点M，交AH边的延长线于点N，得扇形AMGN，则扇形AMGN的面积是正方形AEGH面积的扩展，按此法依次进行到如图所示，叫做正方形ABCD面积的第一次扩展．按这种方法可进行第二次扩展，直到第n次扩展．
（1）求第一次扩展中各扇形面积之和S1；
（2）求第二次扩展中各扇形面积之和S2（第二次扩展的第一个正方形是以第一次扩展的最后一个扇形半径为边长的正方形）；
（3）求第n次扩展中各扇形面积之和Sn．

解：（1）根据勾股定理可知半径为
2
a；
第一次扩展半径为2a；
第三次扩展的半径为2
2
a；
第四次为4a；
根据扇形面积可知第一次扩展中各扇形面积之和
S1=
90π×2a2
360
+
90π×4a2
360
+
90π×8a2
360
+
90π×16a2
360
=
15
2
a2π．

（2）第二次扩展中各扇形的半径分别是
32
a，8a，
128
a，16a，
根据扇形面积可得第二次扩展中各扇形面积之和
S2=
90π×32a2
360
+
90π+64a2
360
+
90π+128a2
360
+
90π+256a2
360
=120πa2．

（3）从第一次和第二次中要找到规律，
第二次是第一次的16倍，
所以第三次就是16的2倍，即162-1，
第n次就是16n-1．
所以第n次扩展中各扇形面积之和Sn=
15
2
16n-1πa2

正方形ABCD的边长为1, 已知以正方形ABCD的边CD为边长，向正方形外作等边ΔCDE 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A 出发顺次经过... 边长为a的菱形ABCD中，在边长为a的正方形ABCD内以A为顶点作等边三角形使它的另外两个顶点EF分别位于BC和CD上求三角形AEF的边长已知ABCD是边长为a的正方形，且PD=a，PA=PC=根号2a 11.P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积若以a,b为边长的长方形的周长为24,面积为30,则求分别以a,b为边长的正方形的面积和操作与证明: 如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长. 圆过正方形abcd的定点a和b,且与cd边相切。若正方形的边长为2,则圆的半径为多少?