在办理离职手续的过程中新东家会和老东家联络吗?

没有十分特殊的原因，是不会的
新的企业会要求手续齐全的证明，尤为重要的就是您的解除劳动关系通知书。
企业之间一般是不会互相干扰的，因为现在离职现象十分普遍，所以不必这么在意，大家都有不言而喻的规矩
如果是特别高端的职位，有可能单位会与猎头公司沟通的。

一般不会知道的。再有即使知道有什么关系吗？

不会，

一般来说是不会的，除非老东家对你的离职特别关注