cos α+cos β-cos(α+β)=3/2, 求锐角α,β

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/05 15:55:08
cos α+cos β-cos(α+β)=3/2, 求锐角α,β
谢谢两位的解法,老师好象讲可以用柯西不等式做,怎么做?能补充下吗?
tangsandage ,不知道怎么回不了你的消息
你说cos[(α+β)/2]+1/{4cos[(α+β)/2]}>=1?
这个不是基本不等式吗?

cosα+cosβ-cos(α+β)=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]-2cos^2[(α+β)/2]+1
=2cos[(α+β)/2]{cos[(α-β)/2]-cos[(α+β/2])}+1
又因为cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2.所以
2cos[(α+β)/2]{cos[(α-β)/2]-cos[(α+β/2])}+1=3/2
假设cos[(α+β)/2]=x，cos[(α-β)/2]=y
就有 2x(y-x)=1/2 ----->y=(4x^2+1)/4x
已知α，β为锐角,cos[(α+β)/2]=x，cos[(α-β)/2]=y
所以 0<x<1,0<y<=1
所以 0<y=(4x^2+1)/4x<=1
(4x^2+1)/4x<=1 有且只有一个解当x=1/2时y=1
cos[(α+β)/2]=x，cos[(α-β)/2]=y
所以 (α+β)/2=π/3 ，(α-β)/2=0
所以 α=β=π/3

cos α+cos β-cos(α+β)=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]-2cos^2[(α+β)/2]+1=3/2因为α,β锐角，故可以求得
cos[(α-β)/2]
=cos[(α+β)/2]+1/{4cos[(α+β)/2]}>=1,（这一步就是Chauchy不等式）于是必有
cos[(α-β)/2]=1，α=β，这样
2cosα-2cos^2α+1=3/2，解得cosα=1/2,α=β=pi/3