证明：无论a取何实数值

您好：
原方程变形，得
(x^2+x+1/4-y)+a*(x+1/2)=0，
所以令上边两个括号里的代数式都等于零，得
x=-1/2,
y=0。
所以抛物线都过(-1/2,0)这个点。
原抛物线方程还可以化为
[x+(a+1)]^2=y+(a^2)/4，
所以这些抛物线的定点坐标是
[-(a+1)/2,-(a^2)/4]，
设顶点坐标为(x,y)，则可得到
(x+1/2)^2=-y，
所以这些抛物线的定点在一个抛物线上。
得证。
谢谢！

取x=-1/2.则y=1/4-a/2-1/2+a/2+1/4=0
即恒过定点(-1/2,0).
抛物线顶点为x=-(a+1)/2,y=-(a+1)^2/4+a/2+1/4=-a^2/4.
可见顶点满足y=-(x+1/2)^2,即这些抛物线的顶点，都在一条确定的抛物线y=-(x+1/2)^2上.