微分方程幂级数解法一定收敛到所求函数吗？比如这个

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/30 03:21:57
RT，像X′′+X3=0 (X3是X三次方）这样的方程，幂级数解出来收敛到这个方程的解吗？
高手帮帮忙啊~~谢谢啦~~
我是按那个想法编的程序，得到的级数前30项的系数，然后发现它不是振动的。不过谢谢了，一开始我也想到了你的这种做法，这个方程我是根据能量守恒写出来的，但是这个方程最后让麻烦的就是要积 根号（C-X^4)，我不知道这个积不积得出来，所以就放弃了。谢谢你了，虽然还不是特别明白，但最关键的应该是你说的“幂级数解出来的解只在收敛域内收敛到方程的解”吧~~~

这个只能是在幂级数收敛区域内有效了。区域外就不是解了。对于本题没必要用幂级数解。一般设解等于一个无穷多个aix^i相加的和函数，i>=0,然后代入微分方程,比较每个x^i的系数，以解出各个ai,最终就得到一个已知的级数了。
我不知道这题你是怎么利用幂级数解出来的，按常规，幂级数解法运用的时候涉及到未知函数时通常是一次方，如果有二次方以上的话，则涉及到无穷级数的乘方问题，这是很麻烦的。对于你举的例子，由于涉及到未知函数的3次方，所以这个问题很麻烦。（注意：本例的自变量是时间t）
很多时候，幂级数解法是常规解法不好办的情况下不得已而为之的。对于本例，直接用常规解法。如下：
方程两边同每乘以dx/dt,积分
0.5(dx/dt)^2+1/4x^4=C
解得dx/dt,然后用分离变量法求解，得到的解当然是振动的。