怎样证明惯性的大小跟物体速度无关？

物体的惯性是用质量来衡量的。
如果物体的质量与速度大小无关，那么惯性的大小就和速度的大小无关。

严格的讲惯性不是一种力，但是在分析有些问题的时候把惯性作为力（ma）来看待会比较容易分析。

惯性的大小决定了速度变化的快慢。
刹车的距离不同是因为速度不同。如果速度变化的快慢是相同的，那么速度大的时候，就需要更长的时间才能减小到0。如果刹车的时间不同，刹车的距离当然就不一样。

惯性根速度和质量有关，速度一定时，质量越大惯性越大
质量一定时，速度越大惯性越大。

惯性本身不是一种力，有些地方会出现“惯性力”这个概念，这是人们为了解决某些问题人为引入的力，它是人们想像存在的力，而不是真实存在的力。就拿你说的刹车来说，当刹车时，站在车上好像受到一股把人向前推的“力”其实这个力不存在的。精确来说是，人由于惯性向前倒，而不是受到惯性力而向倒

惯性和速度无关，只和质量有关，两辆车刹车后拉出去的距离不同是因为质量不同
惯性不是力，也没有做功

惯性是质量的一种属性,不是一种力.
但我们有时候也有"惯性力"这样的说法,其实是沿着加速度的相反方向虚构一个大小等于ma的力,达到把不平衡的动力学问题转化为平衡静力学的目的.其实不接受这个思想也是可以的.
平动物体的惯性只取决与它的质量.转动物体惯性则取决于质量和回转半径.
比如刹车时,载重汽车就不容易刹住.
再比如,小孩子玩的"转椅",上面坐了越多的人,你想让它转起来越难,同样,越大的"转椅",使它转动也越困难.
至于你说的同一汽车在不同速度时刹车的问题,跟惯性没有关系.
地面提供给车的摩擦力是停车的动力,它的大小是一样的,所以刹车时的加速度是一样的.用相同的加速度,速度大的时候,速度减为0就要画更多的时间,所以车滑行的距离就远.

在广义相对论中对惯性有大致解释，就是罗氏几何中的圆周问题。