在△ABC中，∠B和∠C的平分线BE、CF交于O，且BE交AC于E, CF交AC于F,已知BE=CF，求证：AB=AC.

用相似（但是证明题不能用相似。。。）

因为BE=CF，BC=CB
所△BCE∽△CBF
所以∠BCF=∠CBE
又因为∠B和∠C的平分线BE、CF交于O
所以∠BCF=∠ACF，∠CBE=∠ABE
所以∠BCF=∠ACF=∠CBE=∠ABE
所以∠BCF+∠ACF=∠CBE+∠ABE
即∠ABC=∠ACB
所以△ABC是等腰三角形

我个人认为此题证明方法中最为常规易懂的是下面这种方法(自创),需要用到stewart定理
先来证明stewart定理(斯台瓦尔特定理)
证明:设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有
AB^2·DC+AC^2·BD-AD^2·BC＝BC·DC·BD。
证明：在图2－6中，作AH⊥BC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有
AC^2=AD^2＋DC^2-2DC·DH，（1）
AB^2=AD^2+BD^2+2BD·DH。 （2）
用BD乘(1)式两边得
AC^2·BD=AD^2·BD+DC^2·BD-2DC·DH·BD，（1）′
用DC乘(2)式两边得
AD^2·DC=AD^2·DC＋BD^2·DC＋2BD·DH·DC。（2）′
由（1）′+（2）′得到
AC^2·BD+AB^2·DC=AD^2(BD＋DC)+DC^2·BD＋BD^2·DC
=AD^2·BC+BD·DC·BC。
∴AB^2·DC＋AC^2·BD-AD^2·BC=BC·DC·BD。
这是高中数学中的常用公式,可以直接代用
下面证明原命题
证明:设AB=c AC=b BC=a
则根据角平分线定理，AE=bc/(a+c) EC=ab/(a+c)
在三角形BAC中，BE平分角B，则根据stewart定理,BE^2=ac{
1-[b/(a+c)]^2}=ac(a+b+c)(a-b+c)/(a+c)^2
同理可知FC^2=ab(a+b+c)(a+b-c)/(a+b)^2