已知9ˇN-5ˇM=Xˇ2,求证满足X为整数的N,M正整数解只有一组.

首先，x不为0，不妨令x>0.
由9^N-5^M=x^2,得(3^N)^2-x^2=5^M,再因式分解，得
(3^N-x)(3^N+x)=5^M

由于3^N-x和3^N+x不能同时被5整除,即至少有一个没有素因子5
(否则，5|(3^N-x)+(3^N+x),由此，5|2*3^N,矛盾)
又3^N+x>3^N-x,因此由因式分解的式子，得
3^N+x=5^M 3^N-x=1
上两式相加，得 2*3^N=5^M+1 ..............(1)

现考虑(1)式。
对(1)式两边mod 6,得(-1)^M+1=0(mod 6)
由此知M为奇数，令M=2k+1(k>=0)
将(1)式右边因式分解，再在等式除以6，得
3^(N-1)=5^(2k)-5^(2k-1)+......+5^2-5^1+1 .........(2)

现在求出N。若N>1,则在(2)式mod 3,得
0=(-1)^(2k)-(-1)^(2k-1)+......+(-1)^2-(-1)^1+1(mod 3)
此即 2k+1=0 (mod 3)
因此 M=0 (mod 3) 令M=3m (m>0，m是奇数),代回(1)式，得
2*3^N=5^3m +1,即2*3^N=125^m +1
上式右端因式分解，得
2*3^N=(125+1)(125^(m-1)-125^(m-2)+.....+1)
上式右端的125+1=126=2*3*3*7，有素因子7，左端却没有素因子7，矛盾

这矛盾说明N只能为1，再由(1)式，得M=1

因此N=1，M=1为方程的唯一正整数解。

刚看到````
呵呵,复制一下楼上的``
9ˇN-5ˇM=Xˇ2,
9-5=4=2^2

M=1,N=1

这是一个特殊解``
讨论一下9的乘方末尾可以是1或9
而5的乘方末尾总是5
所以式子左边的末尾是6或4