正切函数的定义域可不可以写成它的递增区间？

可以的，这两种写法是完全等价的。
这两种写法等价与你说的在定义域内是增函数没有关系。
正切函数的定义域是一段一段的，不是连续的，而说增函数时只能是在一个连续的区间内讨论，这样才有意义。
你的说法“正切函数在它的定义域内是增函数”与“正切函数的单调增区间是(k∏-∏/2,k∏+∏/2),k∈Z”是不等价的。

可以
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不能说正切函数在它的定义域内是增函数.
是因为在（-兀/2，+兀/2),或（兀-兀/2，兀+兀/2）等单调区间里是是增函数，但不是在它的整个定义域内是增函数

可以，这就是他的一个周期。
在一个周期内是增函数
但不是整个定义域内。