将一周长为2L的等腰△ABC绕它的底边AB旋转一周得一旋转体,问AB为多少时旋转体的体积最大?

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/28 07:19:53
列出体积对AB的函数.
为什么是AC=L-b,应该是Ac=L-a才对吧,
你现在改了,那旋转所得圆锥底面圆面积就应为πb^2,高为a，体积为(1/3)πb^2*a,答案就和你现在的不一样,但正确的答案是和你现在的一样.你能仔细看一下吗?

取底边中点D，
RtΔADC和RtΔBDC绕AB旋转后变为两个底面相对的圆锥。
只需算出圆锥的最大体积。
设DC=a，AD=b，因为AD+AC为半周长L
所以AC=L-b
由勾股定理
b^2+a^2=(L-b)^2
即得(L-b)^2-b^2=a^2
前面用平方差公式得(L-2b)L=a^2
旋转所得圆锥底面圆面积为πa^2,高为b，体积为(1/3)πa^2*b
用上式替换a^2为(1/3)Lπ[(L-2b)*b]=(1/6)Lπ【(L-2b)*2b】=
综括号里用均值不等式得【(L-2b)*2b】<=((L-2b+2b)/2)^2=L^2/4
整个体积最大值为(π/24)*L^3*2=(π/12)*L^3
等号成立当且仅当L-2b=2b，即b=L/4时，得到最大体积，AB=2AD=L/2

不好意思，刚开始我写错了。现在改了：DC=a，AD=b