求解一道比较难的函数题

楼上朋友的解法不甚严密.

解：令x=1/2,得：f(1/2)+f(1-1/2)=2*f(1/2)=1,所以f(1/2)=1/2
令x=0，得：f(0)+f(1-0)=0+f(1)=1=f(1)
由f(x/5)=1/2f(x)结合f(1)与f(1/2)的值,迭代得：
f[1/(5^n)]=1/(2^n)...(1)
f[1/(2*5^n)]=1/[2^(n+1)]...(2)
由(1),(2)得： f[1/(5^n)]=f{1/[2*5^(n-1)]}=1/(2^n)...(3)
注意到1/(5^n)<1/[2*5^(n-1)]
根据f(x)在[0，1]上为不减函数与(3)，得：
结论：对于任意的t满足 1/(5^n)<t<1/[2*5^(n-1)]有f(t)=1/(2^n)成立.
以5^n为变元解不等式组：
[1/(5^n)]<1/2008...(4)
[2*5^(n-1)]>1/2008…（5）
n属于N+…（6）
得：2008<5^n<5020 ，赋值得n=5
结合上述结论得：f(1/2008)=1/(2^5)=1/32

注意：本题求f(1/2008)运用了函数在[0,1]上不减这一条件，结论的得到基于其迫敛性（或称夹逼性），此性质在一类数列与函数极限中运用较广.

令x=1
f(1)+f(1-1)=1
f(1)=1-f(0)=1

f(x/5)=1/2f(x)
f(1/5)=1/2*f(1)=1/2
f(1/25)=f[(1/5)/5]=1/2*f(1/2)=1/4
反复几次，得f(1/3125)=1/32

令x=1/2
f(1/2)+f(1-1/2