求助：统计问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/20 07:17:59
证明:对于任何实数c，若s^2=1/n[(x1-X)^2+...+(xn-X)^2],sc^2=1/n[(x1-c)^2+...+(xn-c)^2],其中X是x1,x2,...xn的平均数，则s^2<=sc^2

把 n*sc^2 整理成c的二次函数的形式.

n*sc^2 = n*c^2 - 2*(x1+x2+...+xn)*c + x1^2+x2^2+...+xn^2

因为二次函数在"x=-b/(2a)"处取得最小值(n>0), 套用公式就有:
c = 2*(x1+x2+...+xn)/(2n) = X
接下来易证.

sc^2
=1/n[(x1-x+x-c)^2+...+(xn-x+x-c)^2]
=1/n{[(x1-x)^2+...+(xn-x)^2]+2[(x1-x)+...+(xn-x)](x-c)+n*(x-c)^2}
=1/n{[(x1-x)^2+...+(xn-x)^2]+n*(x-c)^2}
=1/n[(x1-x)^2+...+(xn-x)^2]+(x-c)^2
≥1/n[(x1-x)^2+...+(xn-x)^2]
当且仅当x=c时取等号.