为什么两数和是10 积最大是25

设两个数是x,y,x+y=10,则设积为S
S=x*y=x*(10-x)=-x^2+10x=-(x^2-10x+25)+25=-(x-5)^2+25
当x=5的时候，面积S最大是25

ab≤(a+b)^2/4=100/4=25
当a=b=5取等

关于均值不等式的证明
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)n≥An＋nAn－1B。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)n≥a1a2…an。
当n＝2时易证；
假设当n＝k时命题成立，即
((a1＋a2＋…＋ak )／k)k≥a1a2…ak。那么当n＝k＋1时，不妨设ak＋1是a1，a2 ，…，ak＋1中最大者，则
k ak＋1≥a1＋a2＋…＋ak。
设s＝a1＋a2＋…＋ak，
((a1＋a2＋…＋ak＋1)／(k＋1))k+1
＝(s／k＋(k ak＋1－s)／(k(k＋1)))k+1
≥(s／k)k+1＋(k＋1)(s／k)k(k ak＋1－s)／k(k＋1) 用引理
＝(s／k)k ak＋1
≥a1a2…ak＋1。用归纳假设

a+b=10
b=10-a
a*b=a*(10-a)=-a^2+10a

最大值=(4ac-b^2)/(4a)＝-100/[4*(-1)]=25

你好
一般做这种题目，取最中间的数积是最大的，你可以做许多实验，我也是这样的。
但这个是没有原因的，（老师也没对我讲什么原因）只不过是发现的而已。
而你说的两数和是10，也就是5和5，这是求最大值的唯一办法。5和5的积为25

祝你学习进步！

根据基本不等式a+b>=2[a*b]（[]是根号）
也就是说，a+b=10，那么2[ab]<=10,解得[ab]<=5,两边平方，得到
ab<=