我可以申请劳动仲裁吗？要补偿么？

利用这一段时间搜集证据，能证明你和网吧自2006年10月1日存在劳动关系的证据，补偿是没有问题。
能够证明你每天工作12个小时的话，你还可以主张这些年的加班费。
主张让其为你补缴社保。
没有签劳动合同，可以主张其支付08年2月1日以后的双倍工资。
终止劳动关系的经济补偿，每年一个月工资，满六个月算一年，不满六个月算半年。
只要你能证明这些,肯定能赢。

根据你说的情况，对你不利
首先你没有签订劳动合同，其次你无法证明你在网吧工作。我国民法适用谁主张谁举证原则，你没有足够的证据，这场官司很难打，所以引以为戒，以后工作时记得签合同，社会保险是劳动合同法规定的内容，任何用工单位都应为员工缴纳劳动保险。

如果系统数据的记载能够作为你工作状态的证明，那么你的主张是有可能得到支持的，你可以向仲裁委申请调取这个证据。而劳动仲裁你完全有权申请，而且现在也不收费。你完全可以试试看的。