设函数f(x)=lnx/1+x-lnx+ln(x+1)

解：（Ⅰ）f′(x)＝
1
x(1+x)
−
lnx
(1+x)2
−
1
x
+
1
x+1
＝−
lnx
(1+x)2
．（2分）故当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（4分）由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．（6分）（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时，由于f(x)＝
(1+x)ln(1+x)−xlnx
1+x
＝
ln(1+x)+x[ln(1+x)−lnx]
1+x
＞0，故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）．（10分）（ⅱ）当a＞0时，由f(x)＝
lnx
1+x
+ln(1+
1
x
)知f(2n)＝
ln2n
1+2n
+ln(1+
1
2n
)，其中n为正整数，且有ln(1+
1
2n
)＜
a
2
⇔
1
2n
＜e
n
2
−1⇔n＞−log2(e
n
2
−1)．（12分）又n≥2时，
ln2n
1+2n
＝
nln2
1+(1+1)n
＜
nln2

n(n−1)
2

＝