已知a、b、c∈R,求证:a的四次方+b的四次方+c的四次方≥abc(a+b+c)
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/28 09:02:28
原式=a^4+b^4+c^4
=1/2(a^4+b^4+b^4+c^4+c^4+a^4)
=1/2[(a^4-2a^2×b^2+b^4+b^4-2b^2×c^2+c^4-2c^2×a^2+c^4+a^4)+2a^2×b^2+2b^2×c^2+2c^2×a^2]
=1/2[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]+a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
因为[(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2]≥0
所以
原式=a^4+b^4+c^4 ≥a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
而同理
a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2
=1/2[a^2×b^2+b^2×c^2+b^2×c^2
+c^2×a^2+c^2×a^2 +a^2×b^2]
=1/2[a^2×b^2-2acb^2+b^2×c^2+b^2×c^2-2abc^2
+c^2×a^2+c^2×a^2 -2bca^2+a^2×b^2+2acb^2+2abc^2+2bca^2]
=1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+acb^2+abc^2+bca^2
=1/2[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]+abc(a+b+c)
因为[(ab-bc)^2+(bc-ac)^2+(ac-ab)^2]≥0
所以
a^2×b^2+b^2×c^2+c^2×a^2 ≥abc(a+b+c)
已知a,b∈R+ 求证
已知,a.b.c∈R.且a+b+c=1.求证:a的平方+b的平方+c的平方≥1/3.
已知a,b,c∈R,
已知a,b,c属于R+ 求证:(a/b+b/c+c/a)(b/a+a/c+c/b)大于等于9
已知a,b∈R,求证:a^2+b^2+1>ab+a
已知a,b,c属于R+ ,求证(1)b^2/a + c^2/b + a^2/c >=a+b+c (2)已知a,b,c属于R+
已知a,b,c,为不全相等的正数,求证,b+c-a/a+c+a-b/b+a+b-c/c>3
已知A,B,C是三角形的三边,求证:(a×a+b×b-c×c)-4a×a×b×b的值一定大于0.
已知a,b,c属于R+,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)大于等于6abc
高中数学不等式问题a,b,c属于R^+,求证(a^a)(b^b)(c^c)