第一天上班就让签合同正常吗

正常，现在要求的是试用期也要签合同，只不过试用期在正式合同里约定而已。
但是你还是要仔细研读劳动合同，有不明白或有歧义的地方一定要及时提出来，总之多点自我保护。
还有就是这家公司的相关资质你是否亲眼见到过，至少你上网核实过没有？

是他们急需你这样的人才。主要是怕你呆一阵子就不做了。