UC知道双曲线的第三定义
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/23 22:30:55
双曲线的第三定义是否是：平面内到两条相交定直线距离之积等于常数的点的轨迹叫双曲线。
如果不是那“双曲线上的任意一点到两条渐进线的距离之积为常数”如何证明？
如果不是那“双曲线上的任意一点到两条渐进线的距离之积为常数”如何证明？
证明：
等轴双曲线的方程为：x^2/a^2-y^2/a^2=1,
即x^2-y^2=a^2=k,k为常数，
两条渐进线方程分别为x+y=0和x-y=0，
设双曲线上任意一点M（x0,y0）,点M到两渐进线的距离分别为：
d1=|x0+y0|/sqrt(2),d2=|x0-y0|/sqrt(2),
则，d1×d2=（x0^2-y0^2）/2,而x0,y0满足双曲线方程x0^2-y0^2=k,
于是，得d1×d2=k/2=常数
证毕 赞同0| 评论
证明：
等轴双曲线的方程为：x^2/a^2-y^2/a^2=1,
即x^2-y^2=a^2=k,k为常数，
两条渐进线方程分别为x+y=0和x-y=0，
设双曲线上任意一点M（x0,y0）,点M到两渐进线的距离分别为：
d1=|x0+y0|/sqrt(2),d2=|x0-y0|/sqrt(2),
则，d1×d2=（x0^2-y0^2）/2,而x0,y0满足双曲线方程x0^2-y0^2=k,
于是，得d1×d2=k/2=常数
证毕