求证一个与无理数有关的稠密性问题

记{na}=na-[na]。

如果我们能证明S={na-[na]，for all nature number n}与区间[0，1/m]的交集非空（m是正整数），那么S就一定与任意的[(k-1)/m，k/m]交集非空（只要把它乘以若干倍即可）。

进而，如果在上述证明中的m是任意的自然数，那么我们就知道S可以任意小地逼近一个[0，1]之间的数（因为它与该数的差距不会大于1/m）。从而得到我们的结论。

所以，我们只需要证明对于任意m，S与区间[0，1/m]的交集非空即可。

不妨设a>0。a<0类似。
显然{a}，{2a}，……，{ma}是S中的m个不同的元素。记P={{a}，{2a}，……，{ma}}。
将[0，1]分割为m个区间：[0，1/m]，[1/m，2/m]，……，[(m-1)/m，1]。

如果[0，1/m]与P无交，则根据抽屉原理，[1/m，2/m]，……，[(m-1)/m，1]这m-1个区间中至少有一个落入了P中的至少两个元素，不妨设它们是{sa}，{ta}。
那么，显然0<{|t-s|a}<1/m。
因此，存在{|t-s|a}属于S，使{|t-s|a}属于[0，1/m]。

根据一开始的讨论，我们知道S在[0，1]上稠密。证毕。

以上的证明中，a是无理数是必不可少的，因为如果a是有理数的话，那么当m充分大时，{a}，{2a}，……，{ma}中就有相同的了。

如果我们能证明S={na-[na]，for all nature number n}与区间[0，1/m]的交集非空（m是正整数），那么S就一定与任意的[(k-1)/m，k/m]交集非空（只要把它乘以若干倍即可）。
－－－括号里的最后一句话，貌似有问题。不是乘以若干倍，而是要平移才可以。所以证明有些漏洞。请别的大神来弥补吧。

n>=0且n是整数时，[na]《=na,则na-[na]>=0
n<0且n是整数时，[na]>=(na-1), 则-[na]<=(1-na) 故na-[na]<=1