已知a,b,c,d为正实数，P=根号下（3a+1)+根号下（3b+1)+根号下（3c+1)+根号下（3d+1);且a+b+c+d=1;求证:P>5

≤ √ ≥
首先我们来证明x+y≤√[2(x^2+y^2)]
（根号下x平方加上y平方），其中x,y>0
因为x^2+y^2≥2xy,两边同时加上x^2+y^2得
2(x^2+y^2)≥(x+y)^2,由于x,y>0,所以
x+y≤√[2(x^2+y^2)]
带到题目中去，有
P=√[3a+1]+√[3b+1]+√[3c+1]+√[3d+1]
≥√[2(3a+1)+2(3b+1)]+√[2(3c+1)+2(3d+1)]
≥√{2[2(3a+1)+2(3b+1)]+)]+2[2(3c+1)+2(3d+1)]}
=√[12(a+b+c+d)+16]
=√[28]>5
当且仅当a=b=c=d=3/4时，P取最小值2√[7]

注：?表示根号。

解：设a+b=u，
[(3a+1)?+(3b+1)?]^2
=3a+1+3b+1+2{[(3a+1)(3b+1)]?}
=3u+1+1+2{[9ab+3u+1]?}
>3u+1+1+2{[3u+1]?}
=[(3u+1)?+(1)?]^2=[(3u+1)?+1]^2
故(3a+1)?+(3b+1)?>(3u+1)?+1
设c+d=v同理
(3c+1)?+(3d+1)?>(3v+1)?+1
故P=(3a+1)?+(3b+1)?+(3c+1)?+(3d+1)?
>(3u+1)?+1+(3v+1)?+1
=(3u+1)?+(3v+1)?+2
设u+v=t同理
(3u+1)?+(3v+1)?>(3t+1)?+1
故P>(3u+1)?+(3v+1)?+2>(3t+1)?+1+2
=(3t+1)?+3
而a+b+c+d=1
即u+v=t=1
故P>(3t+1)?+3=(3*1+1)?+3=2+3=5
即P>5

p=√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1) + √(3