已知函数y＝f(x) 的

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/06 20:13:49
已知函数y＝f(x) 的图象与函数y＝a^x(a>0且a≠1) 的图象关于直线y＝x对称，记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]. 若y＝g(x) 在区间[1/2,2] 上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2,+ ∞) B．(0,1) ∪(1,2) C．[1/2,1) D．(0,1/2]
是a的x次方

关于y=x对称的单调函数互为反函数，故y=f(x)=log（a，x）(这函数我就这么表示吧，a为底数，x为真数）
f'(x)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1),lna表示以自然对数为底，a为真数的对数,即log(e,a)
g'(x)=f'(x)[f(x)+f(2)-1)+f(x)*f'(x)=f'(x)[2*f(x)+f(2)-1]
=(x*lna)^(-1)*[2*log(a，x)+log(a，2)-log(a，a)]
=(x*lna)^(-1)*log(a，2x^2/a)
好了，开始讨论：
0<a<1时，lna<0，x>0,为使g'(x)>0,log(a，2x^2/a)要小于0，即2x^2/a>1,即2x^2>a，由于此式要在1/2<x<2上成立，得1/2<2x^2<8,故a<=1/2,答案选D,如果嫌不保险，可以继续计算。
a>1时,lna>0，x>0,为使g'(x)>0,log(a，2x^2/a)要大于0，即2x^2/a>1，仍然有2x^2>a，此时要在x2上成立1/2<2x^2<8,显然没有符合条件的a.
结论:D