一道数学竞赛题（数论）

一个由正整数组成的数集有如下性质：
集合中除1以外所有数都能被2，3，5中的至少一个数整除；
如果对于任意正整数n，在集合中包含2n,3n,或5n中的任意一个，则集合中包含n,2n,3n,5n的所有四个数。
已知这个集合有300到400个数，请问具体这个集合中有多少数？
（澳洲数学竞赛）
答案是364，说说是怎么做的

解：记这个数集为G。且称2,3,5为小素数。题设条件总结为

S1(存在性): G中大于1的整数必有小素因数.
S2(消去律): G中的整数除去一个小因子仍属于G.
S3(置换律): G中的整数, 将它的1个小素因子置换为其它小素数仍属于G.

先简单说明几条引理

〖引理1〗G中的数不含大于5的素因数。
这是因为G中的任意数按S2除尽其小素因子后必剩下1，否则与S1相矛盾。

〖引理2〗有限集G中的最大数必为5的幂。
最大数若含有因数2或3，则按S3置换为5后变得更大，这与最大数前提相矛盾。

〖引理3〗设最大数为5^n，那么G={g|g=2^x∙3^y∙5^z,x+y+z≤n}
如果x+y+z＞n，那么按置换律将2和3全部换成5后将得到大于5^n的幂。这与5^n为最大数相矛盾.
按消去律和置换律，2^x∙3^y∙5^z,(x+y+z≤n)都是G的元素。

最后，x+y+z≤n的非负整数解数为C(n+2,3)=(n+2)(n+1)n/6,
300<(n+2)(n+1)n/6<400
解得n=12, |G|=C(n+2,3)=364.

设数集存在一个数X
根据 如果对于任意正整数n，在集合中包含2n,3n,或5n中的任意一个，则集合中包含n
所以数集包含X的所有因数且所有质因数为2,3,5
根据 其还包含2n,3n,5n的所有四个数,说明其因数2,3,5之间可以等量互换
故数集为 求和 2^i*3^j*5^k i+j+k=0,1,2,3,4..
i+j+k=0 有一个数1
i+j+k=1 有3个数2，3，5
i+j+k=2 有C13+C12+C11=6个数
i+j+k=3 有C14+C13+C12+C11=10个数
i+j+k=4 有C15+C14+C13+C12+C11=15个数
总数为1+3+6+10+15+..=求和{(n^2+n)/2}