设f(x)=(cosa/sinb)^x+(cosb/sina)^x,(x<0),a,b,为锐角,求证:f(x)<2的充要条件是a+b>π/2

先证明充分性：当a+b>π/2时，
a>π/2-b......(1),
由于a,b都是锐角，
又由于函数sinx在(0,90°)上为增函数，函数cosx在(0,90°)上为减函数，所以由(1)得:
cosa<sinb;
sina>cosb;
所以cosa/sinb<1;
cosb/sina<1;
所以(cosa/sinb)^x<1......(2);
(cosb/sina)^x<1......(3);
所以将(2)(3)相加就得:f(x)=(cosa/sinb)^x+(cosb/sina)^x<2;
再证明必要性：
当f(x)<2时，假设a+b<=π/2;
则a<=π/2-b;
cosa>=sinb;
sina<=cosb;
则(cosa/sinb)^x>=1;
cosb/sina)^x>=1;
所以得到f(x)=(cosa/sinb)^x+(cosb/sina)^x>=2；
由于已知f(x)<2,所以假设不成立，所以a+b>π/2.
证毕。