数列1,1/(1+2),1/(1+2+3)......1/(1+2+...+n) 前n项和

答案是2n/(n+1)
过程如下因为1+2+3...+n=n(n+1)/2
所以1/(1+2+...+n)=2/(n（n+1）)=2(1/n-1/(n+1))
因此，1+1/(1+2)+1/(1+2+3)...+1/(1+2+3...+n)=2(1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1))=2(1-1/(n+1))
=2n/(n+1)

先写出通项,
分母是公差为1的等差数列前n项和.
an=1/[n+n*(n-1)/2]

an=2/n(n+1)
=2[1/n-1/(n+1)]

求和,
Sn=2[1/1-1/2+1/2-1/3+.....+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]

裂相求和
1+2+...+n=n（n+1）/2
所以1/(1+2+...+n) =2/n（n+1)
原式=2[1/1*2+1/2*3+......+1/n*(n+1）]=2[1-1/2+1/2-1/3+......+1/n-1/(n+1)]=2(1-1/n+1)=2n/n+1

已知自然数前N项和公式为(1/2)*N*(N+1)
如此该数列的第N项为2/[N*(N+1)]
该式可分解为(1/2)*[1/N-1/(N+1)]
前N项相加，相互抵消Sn＝(1/2)*[1-1/(N+1)]
此即为答案，所用抵消法，也是常见的数列求和方法。

求和公式1+2+……+n=n*(1+n)/2,代入其中就能得到，数列为2/(1×2)，2/(2×3)，2/(3×4)，……，2/[n×(n+1)],求这个数列的前n项和很简单,运用公式2/[n×(n+1)]=2/n-2/(n+1)，化简然后求和，S=[1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)]×2，消去中间项，可得S=2n/(n+1)