两道高数题求解

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/24 15:27:53
求下列微分方程的通解
1. ylnydx+(x-lny)dy=0

2. y''=1+(y')^2 (注:左边是y的二次倒数,右边是1加y一次导数的平方)

请写出过程,谢谢

1.
做代换y=e^z,则lny=z,dy=de^z=e^zdz
ylnydx+(x-lny)dy
=(e^z)zdx+(x-z)e^zdz
=(e^z)[zdx+(x-z)dz]=0
若e^z=0，即y=0
zdx+(x-z)dz
=zdx+xdz-zdz
=d(zx)-(1/2)dz^2
=d[zx-z^2/2]=0
得
zx-z^2/2=c（c为任意常数）
即原方程通解为
xlny-(lny)^2/2=c(c为任意常数)

2.
设y'=dy/dx=p，得y''=dp/dx=p'
原方程变为p'=1+p^2
即p'/(1+p^2)=1
左边对p积分，右边对x积分，得到
arctan(p)=x+c1 (c1为任意常数)
得到p=tan(x+c1) (c1为任意常数)
即y'=tan(x+c1)
左边对y积分，右边对x积分，得到
y=-ln|cos(x+c1)|+c2 (c1,c2为任意常数)
可以对此式做整理，得到
(e^y)cos(x+c1)=c2 (c1,c2为任意常数)