关于收敛半径

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/22 11:28:47
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6......收敛半径小于一，积分后arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7.....为何收敛半径小于等于1
对不起我没有说清，收敛半径都是1，但为什么一个可以x=1一个x只能小于1呢？

唉~~竟然用不了数学符号！！
那简单写写吧~~

幂级数u0+u1+...+un=a0+a1*x+...+an*x^n 判断收敛半径，
先求p=n趋无穷大（u(n+1)/un）

R=1/p
所以1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6......收敛半径等于1
参考http://public.whut.edu.cn/math01/jjsx/WeiJiFen/keys/html/ch11.htm

然后，由于逐项积分（或求导）后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
证明：http://course.cug.edu.cn/cugFirst/adv_mathe/calculus2/chap11/section3/11.3.3.1.htm

实际上这
你看下1-x^2+x^4-x^6......是个无穷等比数列的所有向的和
则sum=(a1(1-q^n)/1-q)
这里a1=1，q=-x^2 代入
得sum=(1-q^n)/(1-q)
也就是说要使n趋于无穷大时
sum存在则必然要满足|q|<1
这样数列才会收敛到一个确定的值而不是无穷大或不存在
所以|-x^2|<1 即|x|<1也就是收敛半径小于1时
1/(1+x^2)才能展开成1-x^2+x^4-x^6......