三次函数f(x)=x3-3bx+3b在【1，2】内恒为正值，求b的取值范围

解：方法一：可以看作y1=x3，y2=3b(x-1),且y2<y1

x3的图像和x2类似，只是在一，三象限，由于[1,2],讨论第一象限即可

直线y2过（1，0）点，斜率为3b。观察可知在[1，2]范围内，直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值。

对y1求导得相切的斜率3（x2），相切的话3b=3（x2），b的最大值为x2。

相切即是有交点，y1=y2
3x2（x-1）=x3 x=1.5

则b的最大值为x2=9/4 ，那么b<9/4。

方法2：f(x)=x^3-3bx+3b--->f'(x)=3x^-3b

b≤0时，f(x)在R上单调增，只需f(1)=1＞0, 显然成立；

b＞0时，令f'(x)=0--->x=±√b
--->f(x)在[√b,+∞)上单调增，在[-√b,√b]上单调减；

如果√b≤1即b≤1，只需f(1)=1＞0, 显然成立；
如果√b≥2即b≥4，只需f(2)=8-3b＞0--->b＜8/3, 矛盾舍去；
如果1＜√b＜2即1＜b＜4，必须f(√b)=b√b-3b√b+3b＞0
--->-b(2√b-3)＞0--->√b＜3/2--->b＜9/4，即：1＜b＜9/4

综上：b＜9/4