UC知道请高手帮忙做一道线性代数的证明题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/12 02:46:34
题目：
设A是实m*n型矩阵，b是m维列向量。证：方程组A^TAX=A^Tb总是有解的
（提示：秩r(A^TA)=r(A)）
由于书写不方便，A^T中的T为上标，代表A的转置
谢谢！！！！！！！！！！！！！！
希望各位高手给出详细的证明过程！某感激不尽，临言涕零……
设A是实m*n型矩阵，b是m维列向量。证：方程组A^TAX=A^Tb总是有解的
（提示：秩r(A^TA)=r(A)）
由于书写不方便，A^T中的T为上标，代表A的转置
谢谢！！！！！！！！！！！！！！
希望各位高手给出详细的证明过程！某感激不尽，临言涕零……
证明此题之前要先知道两个结论：
1：r(A^TA)=r(A)=r(A^T)
2：r(A)=r(A,b)则方程组Ax=b有解
知道这两个结论，则问题迎刃而解。
证明：
利用分块矩阵的知识，r(A^TA.A^Tb)=r(A^T,A^Tb)=r(A^T,0)=r(A^T)
第一个等号利用结论1，第二个等号用A^Tb减去A^T右乘以b。这样得到r(A^TA.A^Tb)=r(A^T)，利用结论2，得到方程有解。
要分情况讨论
1. r(A)=r(b)
2 r(A)<r(b)
3 r(A)>r(b)
用到的公式 r(A^T)=r(A) r(AB)=min[r(A),r(B)
然后按照非齐次线性方程组有解的情况讨论
注意有解是指 1 有非零解 2只有零解 两种情况