已知不恒为0的函数f（x）对任意实数x,y满足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则函数f(x)：

解：用柯西法解决。
f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]
令x=y=0得2f(0)=4f(0),f(0)=0
令x=0得f(y)+f(-y)=2[f(0)+f(y)]=2f(y),f(y)=f(-y),f(x)是偶函数
令x=y得f(2x)+f(0)=2[f(x)+f(x)]即f(2x)=4f(x)
所以f(2x+x)+f(2x-x)=2f(2x)+2f(x),f(3x)=2f(2x)+f(x)=9f(x)
同理f(4x)=16f(x),f(5x)=25f(x)
猜想f(nx)=n^2f(x),n为正整数，用数学归纳法证明
f[(n+1)x]+f[(n-1)x]=2[f(nx)+f(x)]
f[(n+1)x]+(n-1)^2f(x)=2n^2f(x)+2f(x)=(2n^2+2)f(x)
f[(n+1)x]=(n^2+2n+1)f(x)=(n+1)^2f(x)
所以猜想成立，又f(x)是偶函数且f(0)=0，所以对一切整数n都有f(nx)=n^2f(x)
令nx=y,则x=y/n,f(y)=n^2f(y/n),f(y/n)=f(y)/n^2
所以f[(m/n)x]=f[m(x/n)]=m^2f(x/n)=(m/n)^2f(x)
所以f(nx)=n^2f(x)对一切有理数都成立，令f(1)=a,则f(x)=ax^2（a≠0),x∈Q。
又f(x)=ax^2(a≠0)在x>=0或x<0时都是单调函数，所以x为实数时设有理数数列
{a(pn)^2}和{a(qn)^2}满足limpn=limqn=x,pn<x<qn,则由f(x)的单调性有a(pn)^2<f(x)<a(qn)^2或a(qn)^2<f(x)<a(pn)^2,取极限有f(x)=lima(pn)^2=lima(qn)^2=ax^2,x∈R
综上，f(x)=ax^2(a为常数，且a≠0)

令：x=0,
f(y)+f(-y)=2f(0)+2f(y),即
f(-x)-f(x)=2f(0).......(1);

令：y=0, <