证明单调性

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/30 09:50:17
设f(x)是定义在R上的函数，且对于任意x、y属于R，恒有f(x+y)=f(x)f(y),且x>0时，f(x)>1,证明：
(1、当f(0)=1，且x<0时，0<f(x)<1;
(2、f(x)是R上的单调增函数

1)令y=-x,且x<0,-x>0,故f(-x)>1
且有1=f(0)=f(x)f(-x)
0<f(x)=1/f(-x)<1
得证.
2)提供个思路:
对x1<0<x2,有f(x1)<1<f(x2)
对0<x1<x2,用定义证明单调
对x1<x2<0,同样用定义证明单调.
回答完毕.

1)设x>0,故f(x-x)=f(x)*f(-x)=f(0)=1 ,且f(x)>1>0，

因而0<f(-x)=1/f(x)<1 。

2)因f(x-x)=f(x)*f(-x)=f(0)=1，所以f(-x)=1/f(x)。
设任意的x1<x2,有x2-x1>0,根据已知条件（当x>0时，f(x)>1），
有f(x2-x1)>1,
又因f(x2-x1)=f(x2)*f(-x1)=f(x2)*1/f(x1),
因而f(x2)*1/f(x1)>1,
即f(x2))>f(x1),f(x)是R上的单调增函数。