在一点的空心邻域可导,能否说明在这一点左右导数都存在?为什么

我知道在这个条件下,导数在这一点的左右极限是不一定存在的,就像f=x^2*sin(1/x);(x不等于0),f=0;(x等于0).这个结论应该是对的,可以证明一下吗
回答对了,我一定最高分追加
哦,谢谢,我漏了一个条件,函数在这个邻域内连续
你可以看看我给的例子,我暂时追加五十分
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其实还有一个条件,就是在这个函数的导数的极限存在,我觉得可能没关系就每写上去.例如我说的例子,它在0点有左右导数,可是在这一点导数没有左右极限.似乎导数有左右极限可以推出有左右导数,而导数有左右极限似乎和该点有左右导数无关?
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我知道我问的太细了,谁叫自己以前没好好学呢,回答满意的我至少追加50分,说到做到
大家不要想反例了,这三个条件就是导数极限定理,可以推出在该点导数等于导函数在该点的极限,我主要问的是在前两个条件下左右导数是否存在

急切寻求答案．分段函数中，在某一点处为什么左导数等于右导数时，就说该函数在这一点可导？ 在黑客邻域，“字典”是什么意思？？？ 珍珠的美主要体现在其_____,成语“______”充分说明了这一点。 这一点在哪个半球 痣长在左脸说明什么？ 冰河世纪里的犬齿松鼠一直在为得到那颗坚果而奋斗着，这一点在影片中有何作用，说明了什么吗？ 负电荷在一点受到的电场力的方向为什么跟这一点的场强方向是相反的,请解释最好详细一点 邻域的确切概念 水上有一点,人在水下看这一点的位置 能否在一个金属实体内做成空心注入一种非金属的物质，减轻重量提高性能。