设N是一个自然数,它不是2的倍数,也不是3的倍数,求证:N^2+5一定是6的倍数

任意一个数N可以按除以6的余数分，可以分为六类：余0，余1，余2，。。。余5.即
N＝6n;
N＝6n+1;
N＝6n+2;
... ...
N＝6n+5;
上面六类数中，N＝6n;N＝6n+2;N＝6n+3;N＝6n+4都是2，或者3的倍数。因此，由题意，
N＝6n+1; N＝6n+5;符合题意－－－不是2的倍数，也不是3的倍数。
（1）N＝6n+1时
N^2-1=（N＋1）（N－1） =(6n+2)*6n
所以，6｜N^2+5
（2）N＝6n+5时
N^2-1=（N＋1）（N－1） =(6n+6)*（6n＋4）＝6（n+1）*（6n＋4）
所以，6｜N^2+5＝N^2-1＋6＝6（n+1）*（6n＋4）+6