若a,b,x,y均为正实数，且x+y=1,求证:ab≤(ax+by)(ay+bx)≤(a+b)^2/4

(ax+by)(ay+bx)
=(a^2+b^2)*xy +ab(x^2+y^2)
>=2ab*xy+ab(x^2+y^2)
=(x+y)^2 *ab
=ab

(ax+by)(ay+bx)
=(a^2+b^2)*xy +ab(x^2+y^2)
=(a^2+b^2)*xy+ab*(1-2xy)
=(a-b)^2*xy +ab
<=(a-b)^2 *1/4 +ab =(a+b)^2/4

所以ab≤(ax+by)(ay+bx)≤(a+b)^2/4

这道题肯定有简便的方法
我的方法比较复杂
因为x+y=1,所以ab(x+y)=abx+aby<(ax+by)(ay+bx)
再把)(a+b)^2/4乘以(x+y)再和ax+by)(ay+bx)比较就行乐