如果双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴,过双曲线右焦点且斜率为√(3/5)的直线交双曲线与P,Q两点,
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/07/07 01:22:32
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解析:
本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.满分12分.
解法一:设双曲线的方程为=1.
依题意知,点P,Q的坐标满足方程组
①
②
将②式代入①式,整理得(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③ ——3分
设方程③的两个根为x1,x2,若5b2-3a2=0,则=,即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点同,与题设矛盾,所以5b2-3a2≠0.
根据根与系数的关系,有
④
⑤ ——6分
由于P、Q在直线y=(x-c)上,可记为P (x1,(x1-c)),Q (x2,(x2-c)).
由OP⊥OQ得·=-1,
整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥
将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得3a4+8a2b2-3b4=0,即(a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因为 a2+3b2≠0,解得b2=3a2,所以 c==2a. ——8分
由|PQ|=4,得(x2-x1)2=[(x2-c)-(x1-c)]2=42.
整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦
将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1. ——10分
将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3.
故所求双曲线方程为x2-=1. ——12分
解法二:④式以上同解法一. ——4分
解方程③得x1=,x2= ④ ——6分
由于P、Q在直线y=(x-c)上,可记为P (x1,(x1-c)),Q (x2,